设 u∈C2,1(QT)∩C(Q¯T) 是初值问题
我们建立如下的能量不等式:
在主要方程两侧乘上 u 得: uut−u\laplaceu=fu,(12u2)t−∇⋅(u∇u)+|∇u|2=fu . 再在 Ω 上积分,可得
其中
得
忽略第二项,从而
令 y(t)=∫Ωu2dx,乘上积分因子并积分得
代入边值条件,并将 t 放到最大!
上式代入 (Crucial),可得
两边从 0 到 t 积分得
两边取 sup 即证.